فصل آخر ((تشديد)) يا ((تخفيف‌)) خواص به‌صورت نمودار تركيب شده است‌. همه‌ٴ اين‌ها خيلي‌ مبهم است و جز اين نمي‌توان فرض كرد كه هدف او بيشتر دقت كمّي بوده تا مجمل‌گويي كيفي‌.

والينگفُـرد

ريچارد والينگفُـرد (حدود 1292 ـ 1335). بزرگ‌ترين رياضي‌دان انگليسي عصر خويش‌، از مروّجان مثلثات در قلمرو مسيحيت غربي‌.
مندرجات‌: 1) زندگي‌، 2) ساعت‌ها و ابزارهاي او و نوشته‌هاي مربوط به آنها، 3) ساير آثارش‌، 4) مثلثات‌، 5) اهميت و تأثير چهار باب‌.
1. زندگي‌. ريچارد درحدود 1292 زاده شد، پسر ويليام آهنگر والينگفُـردي (در بركشاير، بر رود تيمز، در اسقف‌نشين آكسفورد) و ايزابل بود. هنگامي كه ده ساله بود پدرش را از دست داد. ويليام دو كيركِبي كشيش والينگفُرد او را به فرزندخواندگي پذيرفت و به آكسفورد فرستاد. شش‌ سال در آكسفورد تحصيل كرد و در 23 سالگي (حدود 1315) ديپلم گرفت‌. آنگاه در سنت آلبانز (هرتفردشاير، در شش فرسخي شمال لندن‌) به سلك بنديكتيان درآمد. سپس براي نه سال ديگر به آكسفورد بازگشت و در رشته‌ٴ فلسفه و الاهيات فارغ‌التحصيل شد و اجازه‌ٴ تدريس كتاب‌ عبارات را به‌دست آورد. در 29 اكتبر 1326 به رياست صومعه انتخاب شد. اين مقامي عالي بود كه گمان مي‌كنم كمتر كسي در آن سن به آن دست مي‌يافت‌؛ البته در فاصله‌ٴ 1154 تا 1396 هر كسي كه ديهيم رياست صومعه‌ٴ سنت آلبانز را بر سر مي‌نهاد، شخص اول و رئيس راهبان‌ انگلستان شمرده مي‌شد. ريچارد به آوينيون رفت تا رسماً از سوي پاپ به اين مقام گماشته شود. در آن هنگام او مبتلا به جذام بود، به‌زودي يك چشمش را از دست داد و مقارن سال 1332 ديگر تقريباً قادر به تكلم نبود. او براي اداره‌ٴ صومعه‌ٴ خودش‌، براي اصلاح امور مالي آن كه به‌وسيله‌ٴ روٴساي پيشين به مخاطره افتاده بود، جلوگيري از هرزروي‌ها و نادرستي‌هاي مالي و افزايش‌ درآمد صومعه زحمات زيادي كشيد. بدين‌سان بيشتر اوقاتش در نزاع با راهبان زيردست و مرافعه با اهل شهر مي‌گذشت‌. مخالفت با او درون صومعه‌ٴ خودش چنان بالا گرفت كه دربار پاپ‌ دستور داد به موضوع رسيدگي كنند؛ و به دنبال آن معاونش نيكلاس فلمستد به‌عنوان‌ قائم‌مقامش انتخاب شد (1333). ريچارد در 23 مه 1335 در 43 سالگي درگذشت‌. آرامگاهش‌ در كليساي صومعه‌، نزديك محراب قرار دارد.
او هنگام اقامت در مرتن دانشجوي مدرسه‌ٴ بنديكتي گلوستر كالج بود. در برخي نسخه‌هاي‌ خطي او را عضو كالج مرتن ناميده‌اند، ولي اسناد آن كالج اين را تأييد نمي‌كند. به‌علاوه‌، عضويت آنجا تنها به كشيشان اختصاص داشت و نه اعضاي فرقه‌هاي رهباني‌. ولي احتمال‌ زيادي دارد كه با آن كالج در ارتباط بوده‌، زيرا در آن هنگام تنها مركز علمي در آكسفورد بود و دست‌كم‌