ديگران در نيمه‌ٴ دوم سده‌ٴ يازده‌، تدوين شد. زرقالي‌، از معلومات مربوط به مثلثات در عصر خويش و از وسايلي كه براي ساختن زيج خود به‌كار برده بود، شرحي عرضه كرد. ژرار كرمونائي‌ اثر او را به لاتيني برگرداند و اين ترجمه تا دو سده از رواج فراواني برخوردار شد.
قدم بعدي مقدمه‌اي بر اصلاح المجسطي‌، در باب مثلثات بود. اصلاح المجسطي رساله‌ٴ بزرگي‌ در اخترشناسي بود از اسپانيايي ديگري به نام جابربن افلح اشبيلي كه در اواسط سده‌ٴ دوازدهم‌، درگذشت‌. در اين اثنا، مثلثات عربي مربوط به دوره‌ٴ پيش‌تر به‌لاتيني ترجمه شده بود. نياز به‌ مثلثات به‌طور شديد و ناگهاني پديدار شد. در نيمه‌ٴ اول سده‌ٴ دوازدهم‌، بيش از سه يا چهار پژوهشگر بدان مشغول بودند: آدلارد باثي‌، هرمان دالماسيايي‌(؟)، رابرت چستري‌، و افلاطون‌ تيوولي‌. آدلارد باثي زيج خوارزمي را به‌صورتي كه مَسْلَمةبن احمد مجريطي (نيمه‌ٴ دوم سده‌ٴ دهم‌) تهذيب كرده بود، در 1126، ترجمه كرد. ترجمه‌ٴ ديگري از همان زيج به هرمان منسوب‌ است‌. اثر رابرت چستري‌، بيش از ترجمه‌، اقتباسي بود از زيج‌هاي زرقالي و بتاني‌، بر حسب افق‌ لندن در سال 1149. او زيج خوارزمي را هم بر حسب همان موضع تهذيب كرد. همو بود كه واژه‌ٴ لاتيني سينوس را معمول ساخت‌. سرانجام در 1145، افلاطون اخترشناسي بتاني را ترجمه كرد. در نيمه‌ٴ سده‌ٴ دوازدهم‌، اغلب رياضيدانان پيشرو لاتيني با مثلثات عربي آشنايي داشتند و اگر در آخرين مرحله‌ٴ آن نبودند، دست كم در مرحله‌اي قرار داشتند كه مسلمانان پيش از پايان سده‌ٴ پيش‌، بدان رسيده بودند. اگر آنان به همان اندازه‌ٴ مسلمانان در زمينه‌ٴ مثلثات استعداد داشتند، كافي بود تا خودشان به اصلاحاتي بپردازند؛ بدبختانه چنين نبود و آنان تا سده‌ٴ چهاردهم‌، از موقعيت خويش خبر نداشتند، يعني تا زماني كه مثلثات لاتيني در مدرسه‌ٴ مرتون آكسفورد از نو آغاز شد.
در اثناي سده‌ٴ سيزدهم‌، پيش‌رفت مثلثات كاملاً مديون كوشش‌هاي مسلمانان بود. جالب‌ توجه است كه در نيمه‌ٴ اول سده‌، تلاش عمده در مراكش صورت گرفت‌، و در نيمه‌ٴ دوم‌، بسيار دورتر از آن‌، يعني در آذربايجان و در آن سوي درياچه‌ٴ اروميه‌. در 1229، حسن مراكشي رساله‌ٴ استادانه‌اي تأليف كرد در باب اعمال اخترشناسي كه در آن طبعاً جاي زيادي به مثلثات اختصاص‌ يافته بود. اين رساله حاوي جدول‌هاي جيب‌1 نيم‌درجه‌، هم‌چنين جدول‌هاي سهم‌،2 قوس‌ جيب‌3 و قوس ظل تمام‌4 است‌. كار رياضي و نجومي در 1259، با حمايت مغول در مراغه آغاز شد. پيش از اين بارها به نصيرالدين طوسي رهبر علمي اين فعاليت اشاره كرده‌ام‌. اصلي‌ترين اثر او كتاب شكل‌القطاع است‌، كه رساله‌اي در هندسه و مثلثات است‌؛ نخستين رساله‌اي كه در آن‌

sine .1
versed sine .2
arc sine .3
arc cotangent .4