اين مورد هر علمي‌) مرهون مساعي نوابغي است كه نه فقط مستقل از يكديگرند، بلكه با يك‌ديگر فاصله و تفاوت زيادي دارند؟ اگر علم را همچون درختي درنظر بگيريم‌، بايد به‌ ريشه‌هاي فراوان آن توجه كنيم كه غذاي خود را از سراسر زمين به دست مي‌آورند. ترديدي‌ نيست كه مساعي چينيان جدا ماند و نتوانست به نتايج دلخواه برسد. با اين حال‌، اين مهم نيست‌ كه ظاهراً برخي مساعي به هدر رفت‌، بلكه مهم اين است كه بسياري از آنها به زودي مورد بهره‌برداري قرار گرفت و به صورت بخشي جدانشدني از معارف بشري درآمد.
مهمترين كاميابي‌هاي اين عصر عبارت بود از:
1) تأليف كتاب حساب در 1202، كه نشانه‌ٴ آغاز رياضيات اروپايي بود.
2) انتشار روش‌هاي هند و عربي در اروپا توسط فيبوناتچي و توسط بسياري رياضيدانان‌ كوچك‌تر، كه مشهورترينشان ويلديو و ساكروبوسكو بودند.
3) توضيح كميت منفي به صورت بدهي توسط فيبوناتچي (1225).
4) مسئله‌هاي او درباره‌ٴ آناليز ديوفانتوسي (1225).
5) اثبات كلي قضيه‌ٴ اساسي تسطيح كره (تصوير جسم‌نما) توسط نموراريوس‌.
6) كارهاي فيبوناتچي و نموراريوس در زمينه‌ٴ نظريه‌ٴ اعداد.
7) تأليف زيج‌هايي در مارسي و لندن (حدود 1231 ـ 1232). با اين همه‌، نبايد فراموش‌ كنيم نيازهايي كه موجب پيدايش اين آثار شد بيشتر مربوط به اخترگويي بود تا علم اخترشناسي‌.
8) جامع‌المبادي‌، تأليف حسن مراكشي (1229) مشروح‌ترين رساله‌ٴ مربوط به مثلثات در قلمرو خلافت غربي‌، بهترين رساله‌ٴ قرون وسطا در اخترشناسي كاربردي‌، زايچه‌بيني‌، و بهترين‌ توصيف روش‌هاي ترسيمي بود.
9) معرفي اخترشناسي بطروجي به جهان لاتيني توسط مايكل اسكات (1217).
10) ترجمه‌ٴ مجسطي به عبري توسط يعقوب آناطولي (حدود 1231).
11) گسترش روش رياضي تئين يوآن شو توسط چئين چيو ـ شائو و توسط لي‌يه‌ (1247 ـ 1248).
12) حل عددي معادلات از درجه‌هاي مختلف توسط چئين چيو ـ شائو (1247).

ز. فيزيك و موسيقي‌

1. احياي مكانيك در غرب‌. اگر گسترش رياضيات‌، كه هم‌اكنون از آن سخن گفتيم‌، نشانه‌ٴ وجود رستاخيز علمي اصيلي در غرب بود، با مطالعه‌ٴ مكانيك در آن دوره هم چنين اعتقادي تقويت‌ مي‌شود. در واقع شاهد احياي واقعي مكانيك در غرب هستيم‌. از دوران افسانه‌اي ارشميدس تا آن زمان‌، جز دوره‌ٴ كوتاهي در عصر فيلوپونوس و سيمپليكوس (نيمه‌ٴ اول سده‌ٴ ششم‌)، عصري‌