3. پيدايش رياضيات اروپايي‌. فعاليت وسيع مترجمان مبيّن آن بود كه در باختر براي معلومات‌ رياضي و كتاب‌هاي رياضي نياز مبرمي وجود داشت‌. اين به‌خودي خود مبيّن وجود نبوغ‌ رياضي نبود، گرچه از تقويت نبوغي كه ممكن بود وجود داشته باشد در نمي‌ماند، و اين همان‌ چيزي است كه اتفاق افتاد. در سده‌ٴ دوازدهم‌، در باختر، رياضيداني نبود؛ مگر دو رياضيدان بزرگ‌ كه در اسپانيا بودند، ولي يكي از آن دو، يعني جابربن افلح‌، مسلمان بود و دومي‌، يعني ابراهيم‌ بر حيه‌، يهودي‌. در سده‌ٴ بعد، دست كم چهار رياضيدان مسيحي وجود داشت‌. يعني فيبوناچي‌، نموراريوس‌، گروستست‌، و بيكن‌. تنها يكي از اينان‌، يعني اولي‌، مستقيماً از نفوذ اسلامي‌ برخوردار شده بود. از قرار معلوم‌، نموراريوس از سرمشق‌هاي عربي پيروي نكرده بود؛ گروستست تحت تأثير يونان قرار داشت‌، از اين گذشته او و شاگردش بيكن بسياري از آثار عربي‌ را به صورت ترجمه‌هاي لاتيني‌شان مي‌شناختند. اين دو، رياضيدانان خلاقي نبودند، بلكه درك‌ پيمبرانه‌شان از رياضيات چيزي جز نبوغ نبود.
فيبوناچي و نموراريوس در آستانه‌ٴ رياضيات اروپايي قرار داشتند. فيبوناچي نه‌تنها كسي بود كه حساب عربي را توصيف كرد، بلكه آثارش‌، مخصوصاً آثار اخيرش‌، حاوي افكار اصيل‌ فراواني است‌. كتاب حساب را كه در 1202، نوشته است مي‌توان نخستين شاهكار رياضيات‌ اروپايي دانست‌. يُردانوس نموراريوس به‌عنوان رياضيدان كمتر اهميت دارد تا در مقام فيزيكدان‌؛ او سنت يونان و رومي را بيش از سنت يوناني و عربي دنبال كرد، ولي در اين راه استقلال رأي‌ زيادي نشان داد.

4. نظريه‌ٴ اعداد. پيش‌رفت در اين زمينه چندان چشمگير نبود. دانش شرقي مشحون از مقدار زيادي خرافات بود، از اين‌رو نبايد تعجب كرد كه رياضيدانان مسلمان و يهودي به‌خواص‌ جادويي اعداد علاقه نشان مي‌دادند، به‌ويژه در مربع‌هاي وفقي‌.1 اين موضوع از جمله به‌وسيله‌ٴ غزالي‌، ابراهيم بن عزرا و بوني مورد بحث قرار گرفته است‌.
برخي قواعد ساده‌ٴ آناليز تركيبي‌2 در آثار ابن عزرا، نموراريوس و بهاسكره ديده مي‌شود.3 كارهاي ناچيزي در زمينه‌ٴ نظريه‌ٴ اعداد را مي‌توان در نوشته‌هاي فيبوناچي و نموراريوس يافت‌.

5. جبر. تاريخ جبر ما در مجلد اول‌، با شرحي راجع به طبقه‌بندي و حل برخي از معادله‌هاي‌ درجه‌ٴ سوم‌، پايان شكوهمندي يافت‌. اين پيروزي‌، رسيدن به يكي از قله‌هاي رفيع -- شايد رفيع‌ترين قله‌ٴ -- رياضيات قرون وسطايي بود، ولي با اين‌كه اين قله‌ٴ جدا افتاده‌اي نبود و در واقع‌

magic squares .1
combinatorial analysis .2
3 .در مورد دو شخص اخيرالذكر
( Johannes Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik (vol. 6, 2d ed., pp. 64-65, Belin 1924, Isis, 7,314