(1509)، متن عربي - لاتيني كامپانو تجديد چاپ شد. به كندي بيداري ملت‌هاي لاتيني توجه‌ كنيد!
اين كُندي را به‌طريق ديگري هم مي‌توان نشان داد. متني در دست داريم‌، احتمالاً از نيمه‌ٴ دوم‌ سده‌ٴ دوازدهم‌، به نام اعمال هندسه‌ٴ هوگو(هيو)1 كه از معلومات عربي كاملاً مبراست‌. اين هوگوي‌ ناشناس تا حدي برتر از محققان يك سده‌ٴ جلوتر، از قبيل راگيمبلد كلني و رادلف ليژي است‌، زيرا او به طور مبهمي از هندسه‌ٴ اقليدسي آگاه است‌، حال آن كه آنان از آن بي‌خبر بودند.
هنوز در آن زمان رياضيدانان باختري در حالي كه به‌آرامي با سنت‌هاي يونان وعربي خو مي‌گرفتند، تقريباً در نيمه‌ٴ اول سده‌ٴ سيزدهم بودند، يعني بسيار پيش از هنگامي كه اين خوگرفتن‌ كامل شود، و نشانه‌هاي آشكار يك نهضت نمايان گردد. آن نشانه‌ها در آثار هندسه‌ٴ فيبوناچي و نموراريوس فراوان ديده مي‌شود. دومي‌، هنگامي كه از مثلث‌ها بحث مي‌كند، گرانيگاه‌2 آنها را مي‌يابد، و در مقاله‌ٴ ديگري نخستين اثبات كلي را از خصوصيت اصلي تصوير مجسم‌3 به‌دست‌ مي‌دهد (تصوير قائم دايره‌ها بر روي صفحه به صورت دايره است‌). اعمال هندسه‌ٴ فيبوناچي كه‌ در 1220، تأليف شده براساس مقاله‌ٴ گم‌شده‌ٴ اقليدس به نام كتاب في تقسيم الاشكال و براساس‌ متريكاي هرون است‌. اين رساله حاوي نوآوري‌هاي فراوان در معني و در روش است‌: كاربرد جبر براي حل مسئله‌هاي هندسه‌.
مقارن پايان سده‌ٴ سيزدهم‌، هنوز نمي‌شد گفت كه باختر در تكميل پيوندش با گذشته‌ٴ يونان و عربي توفيق يافته است‌، ولي با اين همه پيش از آن نبوغ خود را به اثبات رساند. جهان عرب‌ هنوز برتر از دنياي لاتيني است‌، ولي دومي -- نه‌چندان سريع -- در حال رشد است‌: اين امر جوان بي‌خبري را در نظرم مجسم مي‌كند كه علي‌رغم ناپختگي‌اش‌، هوشمندي او به‌آرامي‌، ولي‌ بدون خطاپذيري‌، نمايان مي‌شود. فيبوناچي و نموراريوس‌، با همه‌ٴ خامي كه داشتند، چيز كاملاً نويي عرضه كردند؛ چيزي كه نه يوناني و نه عربي بود. آنان نياكان گاوس و گالوا بودند.

7. مثلثات‌. بهتر است اين مبحث رياضي را با گزارش كوتاهي در باب مثلثات پايان دهيم‌، كه‌ طبعاً مقدمه‌اي بر اخترشناسي است‌. مثلثات در واقع بيش از رياضيات محض بخشي از اخترشناسي بود، و تنها از اواخر اين عصر است كه مطالعه‌ٴ آن به صورت يك رشته‌ٴ مستقل آغاز مي‌شود.
تأليف زيج‌ها مستلزم نظريه‌ها و محاسبه‌هاي مثلثاتي بود، و اين مطالب معمولاً در فصل‌هاي مقدماتي زيج‌ها تشريح مي‌شد. مثلاً، از اين قبيل بود زيج طليطلي كه توسط زرقالي و

Practica geometriae Hugonis .1
center of gravity .2
stereographic projection .3