همان اسلاف اروپايي باشد، ولي اثباتش ممكن نيست‌، و حتي فرض آن هم لزومي ندارد. ممكن است اختراع چنين وسيلهٴ ساده‌اي به خاطر ضرورت‌هاي منطقي مشابه در نقاط بسياري‌ مستقلاً صورت گرفته باشد.

هرمان لنگ‌1

هرمان ريشناوي‌2 يا هرمان منقبض‌3 (بيماري فلج بدن او را منقبض كرده بود) در 18 ژوئيهٴ 1013 زاده شد؛ در ريشناو برآمد؛ در 24 اوت 1054 درگذشت‌. رهبان صومعهٴ بنديكتي‌ ريشناو. رسالهٴ ساده و موجزي راجع به چرتكه نوشت (به ارقام ديگري جز ارقام رومي‌ اشاره نكرده‌)، گزارشي از بازي رياضي موسوم به ريتموماخيا4؛ دو رساله در باب استعمال‌ اسطرلاب (به‌طور غيرمستقيم مبتني بر معلومات اسلامي است‌)5؛ تاريخي تا سال 1054؛ و آثار موسيقي‌6. هرمان نت‌نويسي براي تعيين كوك عرضه كرد كه قبلاً كندي آن را مي‌شناخت (نك‌ نيمهٴ اول سدهٴ نهم‌).

فرانكوي ليژي‌7

در ليژ برآمد، جايي كه مدرسهٴ كليساي جامع سن لامبر را در 1047 اداره مي‌كرد و در 1083 يا بعد از آن در آنجا درگذشت‌. در باب اختيارات ايام‌؛ در باب كره (كه توسط توماس آكويناس شرح‌ شده‌)؛ در باب تربيع دايره (حدود 1054؟؛ در اثناي 1036 و 1056) رسالاتي نوشت‌. رسالهٴ آخري حاوي تاريخ تربيع دايره است‌. فرانكو با كسور دوازده‌گاني به خوبي آشنايي داشت‌، ولي‌ هندسه‌اش بسيار ضعيف بود. مقدار عدد پي 3,24 = 2 ^(9/5).
به نظر مي‌رسد فرانكوي كُلُني‌، كه رساله‌هاي متعددي در موسيقي نوشته و نخستين‌ صاحب‌نظر ايقاع در غرب مسيحي بوده‌، مقارن پايان سدهٴ دوازدهم مي‌زيسته است‌؛ اين دو فرانكو با هم خلط شده‌اند؛ ازجمله به وسيلهٴ استشر. بايد توجه داشت كه فرانكوي ليژي با كُلُني‌ هم ارتباطي داشته‌، چون رساله‌اش راجع به تربيع به هرمان دوم اسقف اعظم كُلُني از 1036 تا 1056 تقديم شده است‌. موضوع به تحقيقات بيشتري نيازمند است‌.

Hermann the Lame .1
Hermann of Reichenau .2
Hermannus Contractus .3
4 rithmomachia. ، در مورد رسالهٴ ديگري از همان عصر مربوط به اين بازي يادداشت مرا راجع به فروتولف در فقرهٴ بعدي ببينيد.
De mensura astrolabii , de utilitatibus .5
opuscula musica .6
Franco of Liege .7